Question

6．已知函数f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²，若函数g（x）在x∈（0，e]的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数和函数的单调性以及极值的关系即可求出
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²-lnx（a∈R）的定义域为（0，+∞）．$f（x）=2x-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-1}}{x}=\frac{{（\sqrt{2}x-1）（\sqrt{2}x+1）}}{x}（x＞0）$，画图列表如下：

x	$（0，\frac{1}{{\sqrt{2}}}）$		$（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由上表可得f（x）的单调递减区间为$（0，\frac{1}{{\sqrt{2}}}）$，递增区间为$（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，+∞）$．
∴f（x）的极小值为$f（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln2$，无极大值；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-x²=ax-lnx的定义域为（0，e]，
$g'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}（0＜x≤e）$的正负号等价于h（x）=ax-1（0＜x≤e）的正负号．
 当a≠0时，g'（x）=0与h（x）=0的根相同为${x_0}=\frac{1}{a}$，
①当a＜0时，${x_0}=\frac{1}{a}＜0$，h（x）＜0⇒g'（x）＜0⇒g（x）在（0，e]上递减，
∴$g{（x）_{min}}=g（e）=ae-1=3⇒a=\frac{4}{e}$⇒a∈∅；
②当a=0时，$g'（x）=-\frac{1}{x}＜0$⇒g（x）在（0，e]上递减，
∴$g{（x）_{min}}=g（e）=ae-1=3⇒a=\frac{4}{e}$⇒a∈∅；
③当$0＜a≤\frac{1}{e}$时，$e＜{x_0}=\frac{1}{a}$，h（x）≤0⇒g'（x）≤0⇒g（x）在（0，e]上递减，
∴$g{（x）_{min}}=g（e）=ae-1=3⇒a=\frac{4}{e}$⇒a∈∅；
④当$\frac{1}{e}$＜a时，$0＜{x_0}=\frac{1}{a}＜e$，列表如下：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由上表可得：$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=1+lna=3⇒a={e^2}$$＞\frac{1}{e}$⇒a=e²符合题意；
综上可得：a=e²．

点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题