Question

11．在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD中，AB=AD=2$\sqrt{3}$，CD=BC=2，PA=2，AB⊥BC，PA⊥CD，面PAB⊥面ABCD．
（1）证明：PC⊥BD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过题意以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，求$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BD}$即可；
（2）所求值即为平面PCD的法向量与平面PCB的法向量的夹角的余弦值．

解答 （1）证明：∵PA⊥CD，面PAB⊥面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵AB=AD=2$\sqrt{3}$，CD=BC=2，AB⊥BC，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4，
∴$cos∠BCO=\frac{OC}{BC}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}$，
即$∠BCO=∠DCO=\frac{π}{3}$，
连结BD交AC于O，则AC⊥BD，
∵O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系O-xyz如图，
则OC=BCcos$\frac{π}{3}$=1，AO=AC-OC=3，OB=OD=BCsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴A（0，-3，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），D（-$\sqrt{3}$，0，0），
又∵PA=2，∴P（0，-3，2），
∴$\overrightarrow{PC}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，0，0），
∵$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BD}$=（0，4，-2）•（-2$\sqrt{3}$，0，0）=0，
∴PC⊥BD；
（2）解：由（1）知$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{4y-2z=0}\\{-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
设平面PCB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{4y-2z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-3-12}{\sqrt{16}•\sqrt{16}}$=-$\frac{7}{8}$，
∴二面角B-PC-D的余弦值为$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查直线与直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，属于中档题．