Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x²+y²=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出M、N的坐标，因为横坐标相同，所以MN的弦长为|y₁-y₂|，把M、N的坐标代入椭圆方程，求出a与b的关系，从而得到离心率．
（Ⅱ）设出过点A的直线方程，根据圆心到直线的距离为半径，求出k，发现切线AP、AQ关于y轴对称，P、Q点纵坐标为-2，代入椭圆方程求出x，再用两点坐标表示出k，构造等式，求出b与a．

解答 解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y₁），N（c，y₂），
则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得y₁=-$\frac{{b}^{2}}{a}$，y₂=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
MN=|y₁-y₂|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=b，得a=2b，
椭圆的离心率为：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，
设过点A且与圆x²+y²=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx-y+b=0，
由于圆x²+y²=4内切于△APQ，所以r=2=$\frac{b}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，得k=±$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4}{4}}$（b＞2），
即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴，
∴y_Q=y_P=-2，
不妨设点Q在y轴左侧，可得x_Q=-x_P=-2$\sqrt{{b}^{2}-2}$，
则$\frac{b-（-2）}{2\sqrt{{b}^{2}-4}}={k}_{AQ}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4}{4}}$，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．