Question

12．如图，在正三棱柱ABC=A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC₁=6，M是棱CC₁上一点．
（1）若M、N分别是CC₁、AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M₁；
（2）若M是CC₁上靠近点C₁上的一个三等分点，求二面角A₁-AM-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 取AB的中点N，以N为原点，以NC、NA、NA₁所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．
（1）通过平面AB₁M₁的法向量与$\overrightarrow{NC}$的数量积为0，可得CN∥平面AB₁M₁；
（2）所求值即为平面A₁AM的法向量与平面AMB₁的法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 取AB的中点N，以N为原点，以NC、NA、NA₁所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图：
则N（0，0，0），A（0，3，0），B（0，-3，0），C（3$\sqrt{3}$，0，0），
A₁（0，3，6），B₁（0，-3，6），C₁（3$\sqrt{3}$，0，6），
（1）证明：∵M是CC₁的中点，
∴M（3$\sqrt{3}$，0，3），
∴$\overrightarrow{AM}$=（3$\sqrt{3}$，-3，3），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-6，6），
设平面AB₁M₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}x-3y+3z=0}\\{-6y+6z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
又∵$\overrightarrow{NC}$=（3$\sqrt{3}$，0，0），
∴$\overrightarrow{NC}$•$\overrightarrow{m}$=（3$\sqrt{3}$，0，0）•（0，1，1）=0，
∴$\overrightarrow{NC}$⊥$\overrightarrow{m}$，
∴CN∥平面AB₁M₁；
（2）解：∵M是CC₁上靠近点C₁上的一个三等分点，
∴M（3$\sqrt{3}$，0，4），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，6），$\overrightarrow{AM}$=（3$\sqrt{3}$，-3，4），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-6，6），
设平面A₁AM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{6z=0}\\{3\sqrt{3}x-3y+4z=0}\end{array}\right.$，
取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面AMB₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}x-3y+4z=0}\\{0-6y+6z=0}\end{array}\right.$，
取x=-$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，9，9），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{3}+9\sqrt{3}+0}{2•\sqrt{3+81+81}}$=$\frac{4\sqrt{55}}{55}$，
∴二面角A₁-AM-B₁的余弦值为$\frac{4\sqrt{55}}{55}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查二面角，建立空间直角坐标系是解决本题的关键，属于中档题．