Question

7．在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，将△ADE沿DE折起使得平面ADE⊥平面BCDE，F是折叠后AC的中点．求二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面EAB的法向量和平面ABD的法向量，由此能求出二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

解答 解：如图示以E为坐标原点，
建立空间直角坐标系
则由已知得A$（-\frac{1}{5}，\frac{2}{5}，\frac{2}{{\sqrt{5}}}）$，
B（1，0，0），D（-1，2，0）
设平面EAB的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EA}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EB}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{5}{x_1}+\frac{2}{5}{y_1}+\frac{2}{{\sqrt{5}}}{z_1}=0\\{x_1}=0\end{array}\right.$
解得一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（0，\sqrt{5}，-1）$，
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BA}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BD}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-\frac{6}{5}{x_2}+\frac{2}{5}{y_2}+\frac{2}{{\sqrt{5}}}{z_2}=0\\-2{x_2}+2{y_2}=0\end{array}\right.$
解得一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（\sqrt{5}，\sqrt{5}，2）$，
∵$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
∴二面角E-AB-D的平面角的余弦值$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，建立坐标系，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．