Question

18．已知a＞0．函数f（x）=$\frac{a}{x}$+|lnx-a|，x∈[1，e²]．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若f（x）≤$\frac{3}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，化简f（x）=$\frac{3}{x}$+|lnx-3|=$\frac{3}{x}$-lnx+3，x∈[1，e²]；从而求导，再求切线方程；
（2）由题意得，$\frac{a}{x}$+|lnx-a|≤$\frac{3}{2}$；分a≥2与0＜a＜2讨论求函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=$\frac{3}{x}$+|lnx-3|
=$\frac{3}{x}$-lnx+3，x∈[1，e²]；
故f（3）=1-ln3+3=4-ln3，
f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，f′（3）=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$；
故曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为
y-（4-ln3）=-$\frac{2}{3}$（x-3），
即2x+3y-18+3ln3=0．
（2）由题意得，$\frac{a}{x}$+|lnx-a|≤$\frac{3}{2}$，
当a≥2时，上式可化为$\frac{a}{x}$-lnx+a≤$\frac{3}{2}$恒成立，
且$\frac{a}{x}$-lnx+a在[1，e²]上是减函数，
故只需使a+a≤$\frac{3}{2}$，
无解；
当0＜a＜2时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x}+lnx-a，x∈[{e}^{a}，{e}^{2}]}\\{\frac{a}{x}-lnx+a，x∈[1，{e}^{a}]}\end{array}\right.$，
故f（x）在[1，e^a]上是减函数，在[e^a，e²]上是增函数，
故只需使$\left\{\begin{array}{l}{a+a≤\frac{3}{2}}\\{\frac{a}{{e}^{2}}+2-a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
解得，$\frac{{e}^{2}}{2（{e}^{2}-1）}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．