Question

14．已知函数f（x）=-x²+ax-b（a、b∈R）的值域为（-∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c的解集为（t，t+4）（t∈R），则实数c的值为-4．

Answer 1

分析 本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究，得到方程的根与解集的关系，利用两根之差为定值，求出实数c的值，得到本题结论．

解答 解：∵函数f（x）=-x²+ax-b（a、b∈R）的值域为（-∞，0]，
∴△=0，
∴a²-4b=0，
∴b=$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∵关于x的不等式f（x）＞c的解集为（t，t+4），
∴方程f（x）=c的两根分别为：t，t+4，
即方程：-x²+ax-$\frac{{a}^{2}}{4}$=c两根分别为：t，t+4，
∵方程：-x²+ax-$\frac{{a}^{2}}{4}$=c的根为：
x=$\frac{a±2\sqrt{-c}}{2}$，
∴两根之差为：2$\sqrt{-c}$=t-（t-4），
c=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查了一元二次不等式与方程的关系，本题难度不大，属于基础题．