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    4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤\frac{1}{2}}\\{2-2x，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（2x），…，fn（x）=f（2n-1x），若直线y=k（x+1）与曲线y=f4（x）在x∈[0，1]上恰有16个交点，则k的取值范围是（　　）
    A．0＜k＜$\frac{7}{15}$B．0＜k＜$\frac{8}{15}$C．0＜k＜$\frac{15}{31}$D．0＜k＜$\frac{16}{31}$

    分析 画出函数y=f4（x）在[0，1]的图象，注意分8个区间，画出直线y=k（x+1），通过直线绕着定点（-1，0）旋转观察恰有16个交点的情况，即可得到k的范围．

    解答 解：画出函数y=f4（x）在[0，1]的图象，
    注意分8个区间：[0，$\frac{1}{8}$]，[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
    [$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$]，[$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$]，[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$]，[$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{4}$]，
    [$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$]，[$\frac{7}{8}$，1]，
    画出直线y=k（x+1），由图象可得，
    当直线经过点（$\frac{15}{16}$，1），则（$\frac{15}{16}$+1）k=1，
    解得k=$\frac{16}{31}$，
    当0＜k＜$\frac{16}{31}$时，直线y=k（x+1）
    与曲线y=f4（x）在x∈[0，1]上恰有16个交点．
    故选：D．

    点评 本题考查函数和方程的转化思想，同时考查函数的周期性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．

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