Question

13．已知函数f（x）=（a-1）x-ax³在[-1，1]的最小值为-1，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，4]
• B． [-$\frac{1}{2}$，4]
• C． [4，+∞）
• D． [-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 根据题目中选择支的特点，可采用特殊值验证法、排除法解决问题．

解答 解：当a=0时，f（x）=-x，x∈[-1，1]，显然符合题意，排除C；
当$a=-\frac{1}{2}$时，$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{3}-\frac{3}{2}x$，$f′（x）=\frac{3}{2}（{x}^{2}-1）$，
所以f（x）在[-1，1]上递减，所以f（x）_min=f（1）=-1．，满足题意，排除D，
当a=-1时，f（x）=x³-2x，f′（x）=3x²-2，
f（x）在[-1，1]上有最小值$f（\sqrt{\frac{2}{3}}）=-\sqrt{\frac{64}{27}}＜-1$，排除A．
故选B．

点评 本题采用了特殊值+排除法解决问题，一般来讲，选择题、填空题要遵循“小题小做，大题大做”的原则，以其考出好成绩．