Question

7．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到最小值；
（II）由题意可得2xlnx≥-x²+ax-3，则$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$，设$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，求出h（x）的单调区间和最小值，由恒成立思想，即可得到a的范围．

解答 解：（I）f′（x）=lnx+1，由f′（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$．
当$x∈（0，\frac{1}{e}），f'（x）＜0，f（x）$单调递减，
当$x∈（\frac{1}{e}，+∞），f'（x）＞0，f（x）$单调递增，
则有$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；
（II）2xlnx≥-x²+ax-3，则$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$，
设$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，则$h'（x）=\frac{（x+3）（x-1）}{x^2}$，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
只需a≤h（x）_min=4．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数是解题的关键．