Question

12．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间及最小值；
（Ⅱ）f（x）≥$\frac{ax-1}{2}$在（0，+∞）上恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函数f（x）的单调区间和极小值、最小值；
（Ⅱ）由f（x）≥$\frac{ax-1}{2}$在（0，+∞）上恒成立，可得a≤2lnx+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0，求出导数，求得最小值，由此能够求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵f′（x）＞0解得x＞$\frac{1}{e}$，f′（x）＜0解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）的减区间为（0，$\frac{1}{e}$），增区间为（$\frac{1}{e}$+∞），
f（x）在x=$\frac{1}{e}$取得极小值，也为最小值，且为-$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）∵f（x）≥$\frac{ax-1}{2}$在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤2lnx+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0，g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
当x＞$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，g（x）是增函数，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
g（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值，也为最小值，且为2-2ln2．
∴a≤g（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2．
即实数a的取值范围是（-∞，2-2ln2]．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．