Question

17．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$（a∈R），f′（1）=0．
（1）求实数a的值；
（2）证明当x≥1时，f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）先确定函数f（x）的定义域，再求导$f'（x）=\frac{1-lnx-a}{x^2}$，从而得$\frac{1-ln1-a}{1}=0$，从而解得；
（2）由题意，f（x）≤1等价于lnx+1≤x；从而令h（x）=x-lnx-1，从而转化为函数的最值问题即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
$f'（x）=\frac{1-lnx-a}{x^2}$，
又∵f′（1）=0，
∴$\frac{1-ln1-a}{1}=0$，
∴a=1．
（2）证明：∵x≥1，
∴f（x）≤1等价于lnx+1≤x；
令h（x）=x-lnx-1，则$h'（x）=\frac{x-1}{x}$，
∵x≥1，
∴h′（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
则当x≥1时，h（x）≥h（1）=0，
即lnx+1≤x成立．
∴当x≥1时，f（x）≤1．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．