Question

3．设F₁，F₂分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E 的上顶点，且|AB|=2．
（1）若椭圆E 的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求椭圆E 的方程；
（2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线F₂P与y 轴相交于点Q，若以PQ 为直径的圆经过点F₁，证明：|OP|＞$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系和两点的距离公式计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设出椭圆方程，运用直径所对的圆周角为直角，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，运用斜率公式，计算化简，结合两点的距离公式，即可得证．

解答 解：（1）设c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，由题意可得a²+b²=4，
且e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）证明：a²+b²=4，则椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1，
F₁（-c，0），F₂（c，0），
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-4}$，设P（x₀，y₀），
则x₀≠c，直线F₁P的斜率${k}_{{F}_{1}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$，
直线F₂P的斜率为${k}_{{F}_{2}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$，
直线F₂P：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$（x-c），
当x=0时，y=-$\frac{{y}_{0}c}{{x}_{0}-c}$，即Q（0，-$\frac{{y}_{0}c}{{x}_{0}-c}$），
F₁Q的斜率为${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$，
以PQ 为直径的圆经过点F₁，
即有F₁P⊥F₁Q，即有${k}_{{F}_{1}P}$•${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$•$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$=-1，
化简可得y₀²=x₀²-（2a²-4）①
又P为E上一点，在第一象限内，则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1，x₀＞0，y₀＞0，②
由①②解得x₀=$\frac{1}{2}$a²，y₀=2-$\frac{1}{2}$a²，
即有|OP|²=x₀²+y₀²=$\frac{1}{2}$（a²-2）²+2，
由a²+b²=4＜2a²，
即a²＞2，
则有|OP|＞$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查直径所对的圆周角为直角，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算求解能力，属于中档题．