Question

8．如图，在多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求点C到平面BDF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；
（Ⅱ）由等体积可得点C到平面BDF的距离．

解答 （Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，取CD中点H，连接BH，
因为AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD，所以四边形ADHB为正方形，
又AD^2A+AB²=BD²=2，HC²+HB²=BC²，所以BD²+BC²=CD²，
所以BC⊥BD       …（3分）
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，
所以DE⊥平面ABCD，…（5分）
所以BC⊥DE，
又BD∩DE=D，
故BC⊥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）解：设点C到平面BDF的距离为h，
由（Ⅰ）知FD=BD=FB=$\sqrt{2}$，所以△BDF为等边三角形，
其面积S_△BDF=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又△CDB的面积S_△CDB=$\frac{1}{2}BH•CD$=1     …（8分）
所以由等体积可得$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
因此h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即点C到平面BDF的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，考查点C到平面BDF的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．