Question

18．某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为$\frac{4}{5}$，m，n（m＞n），设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为$\frac{24}{125}$，都未取得优秀成绩的概率为$\frac{6}{125}$，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
（1）求m，n．
（2）设X为该同学取得优秀成绩的课程门数，求EX．

Answer 1

分析 （1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A、B、C，可得P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=m，P（C）=n，由已知条件可知：P（ABC）=$\frac{24}{125}$P（$\overline A$$\overline B$$\overline C$）=$\frac{6}{125}$，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（2）X=0，1，2，3．利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式可得分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．

解答 （1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A、B、C，
∴P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=m，P（C）=n，
由已知条件可知：P（ABC）=$\frac{24}{125}$P（$\overline A$$\overline B$$\overline C$）=$\frac{6}{125}$
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{5}mn=\frac{24}{125}\\（1-\frac{4}{5}）（1-m）（1-n）=\frac{6}{125}\end{array}\right.$，
又m＞n，则m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{2}{5}$．
（2）∵X=0，1，2，3．
P（X=0）=$（1-\frac{4}{5}）×（1-\frac{3}{5}）×（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{6}{125}$，
P（X=1）=P（A$\overline B$$\overline C$+$\overline A$B$\overline C$+$\overline A$$\overline B$C）=$P（A）P（\overline{B}）P（\overline{C}）$+$P（\overline{A}）P（B）P（\overline{C}）$+$P（\overline{A}）P（\overline{B}）P（C）$=$\frac{37}{125}$，
P（X=2）=P（AB$\overline C$+A$\overline B$C+$\overline A$BC）=$P（A）P（B）P（\overline{C}）$+$P（A）P（\overline{B}）P（C）$+$P（\overline{A}）P（B）P（C）$=$\frac{58}{125}$，
P（X=3）=P（ABC）=$\frac{24}{125}$，
∴x的分布列为

x	0	1	2	3
P	$\frac{6}{125}$	$\frac{37}{125}$	$\frac{58}{125}$	$\frac{24}{125}$

∴EX=0×$\frac{6}{125}$+1×$\frac{37}{125}$+2×$\frac{58}{125}$+3×$\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式、分布列、数学期望计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．