Question

17．某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为$\frac{1}{2}$，高一胜高三的概率为$\frac{2}{3}$，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．
（Ⅰ）若高三获得冠军概率为$\frac{1}{3}$，求P．
（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得到高三获得冠军的所有情况，然后利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出概率，由概率为$\frac{1}{3}$求得p值；
（Ⅱ）写出高三的得分为X的所有取值，求出相应的概率，则分布列及期望可求．

解答 解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场．
高三胜两场的概率为$\frac{1}{3}×（1-p）$，
三个队各胜一场的概率为$\frac{1}{3}×p×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-p）×\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}（1-p）+\frac{1}{3}p×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}（1-p）×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$．
解得：$p=\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，
P（X=0）=$\frac{2p}{3}$，P（X=1）=$\frac{2-p}{3}$，P（X=2）=$\frac{1-p}{3}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2p}{3}$	$\frac{2-p}{3}$	$\frac{1-p}{3}$

故X的期望E（X）=$0×\frac{2p}{3}+1×\frac{2-p}{3}+2×\frac{1-p}{3}=\frac{4-3p}{3}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查了相互独立事件及其概率计算公式，是中档题．