Question

8．已知曲线C上的任意点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为$\frac{1}{2}$
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+2=0与曲线C交于E，F两点，求三角形EOF的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{|MO|}{|MA|}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}=\frac{1}{2}$，化简即可得出；
（2）⊙C的方程为：（x-1）²+y²=4，可得圆心C到直线的距离d，利用|EF|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．求出原点O到直线EF的距离h，利用S_△OEF=$\frac{1}{2}|EF|•h$即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{|MO|}{|MA|}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}=\frac{1}{2}$，化简得：x²+y²+2x-3=0；
（2）⊙C的方程为：（x-1）²+y²=4，圆心C（-1，0），半径r=2．
∴圆心C到直线的距离d=$\frac{|-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|EF|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{4-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．
原点O到直线EF的距离h=$\frac{|0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}|EF|•h$=$\frac{1}{2}×\sqrt{14}×\sqrt{2}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了直线与圆相交弦长、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、两点之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．