Question

4．已知函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；
（2）若b=-2且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，结合函数的单调性从而求出b的取值范围；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到c²＞2+c，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）是增函数，
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1-12b≤0，解得：b≥$\frac{1}{12}$，
∵x∈（-∞，+∞）时，只有b=$\frac{1}{12}$时，f′$（\frac{1}{6}）$=0，
∴b的取值范围为[$\frac{1}{12}$，+∞）．         
（2）由题意得：f′（x）=3x²-x-2，
列表分析最值：

x	-1	（-1，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	$\frac{1}{2}$+c	递增	极大值$\frac{22}{27}$+c	递减	极小值-$\frac{3}{2}$+c	递增	2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为：f（2）=2+c，
∵对x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，
∴c²＞2+c，解得：c＜-1或c＞2，
故C的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．