Question

12．在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，函数f（x）=x²+px+q与g（x）=2x+$\frac{1}{x^2}$在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值是（　　）

• A． $\frac{13}{4}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 先利用基本不等式求得函数f（x）的最小值，及此时x的值，进而根据二次函数的性质列方程求得b和c，最后根据二次函数的性质求得函数在区间上的最大值

解答 解：g（x）=2x+$\frac{1}{x^2}$=x+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥3，当x=1时取得最小值，
∴对于函数f（x），当x=1时，函数有最小值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+p+q=3}\\{-\frac{p}{2}=1}\end{array}\right.$
求得p=-2，q=4，
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，
∴函数f（x）的对称轴为x=1，开口向上，
∴在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，函数的最大值为f（2）=4，
故选：D

点评 本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．对于二次函数的对称轴，顶点位置，应能熟练应用，属于中档题．