Question

1．已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆x²+5y²=5的左焦点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点M（-1，1）作直线交抛物线于A、B两点，使得点M是AB弦的中点，求直线的方程及AB弦的长．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的左焦点，即为抛物线的焦点，得到抛物线方程．
（2）设抛物线的弦所在方程，联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，列出方程，求出k，注意检验判别式，再由弦长公式即可得到．

解答 解：（1）椭圆x²+5y²=5即为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$的左焦点为（-2，0），
抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆x²+5y²=5的左焦点．
p=4，
则抛物线方程为y²=-8x，
（2）设抛物线的弦所在的直线为y-1=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立抛物线的方程，消去y，得，k²x²+[2k（1+k）+8]x+（1+k）²=0，
则△=[2k（1+k）+8]²-4k²（1+k）²＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2k（1+k）+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{（{1+k）}^{2}}{{k}^{2}}$
由M（-1，1）为弦的中点，可得-$\frac{2k（1+k）+8}{{k}^{2}}$=-2，
解得，k=-4，
则△＞0成立，则弦AB所在的直线方程为：4x+y+3=0；
则x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
则弦长为$\sqrt{1+{k}^{2}}．|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{1+（-4）^{2}}\sqrt{（-2）^{2}-4×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{51}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，抛物线的方程的求法，考查联立直线方程好额抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．