Question

9．已知A（-2，0），B（2，0），椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，过点D（1，0）作直线l交椭圆于Q、R两点，交直线AQ、BR交于点P，证明点P落在定直线上．

Answer 1

分析 考虑当直线QR的斜率不存在时，设直线l：x=1，求得交点Q，R，进而求得交点P，再令直线l：y=x-1，代入椭圆方程，求得Q，R，进而求得交点P，猜想：P落在定直线x=4上．再设直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得AQ的方程，BR的方程，令x=4，求得交点P，证明它们的纵坐标相等，即可得证．

解答 证明：当直线QR的斜率不存在时，设直线l：x=1，
代入椭圆方程可得，y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有Q（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），R（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），又A（-2，0），B（2，0），
直线AQ：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x+2），BR：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2），
解得交点P（4，$\sqrt{3}$），
再令直线l：y=x-1，代入椭圆方程可得：5x²-8x=0，
解得x=0或$\frac{8}{5}$，
即有Q（$\frac{8}{5}$，$\frac{3}{5}$），R（0，-1），
直线AQ：y=$\frac{1}{6}$（x+2），BR：y=$\frac{1}{2}$（x-2），
解得交点P（4，1），
猜想：P落在定直线x=4上．
设直线l：y=k（x-1），
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
直线AQ：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），
令x=4可得，y=$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，
直线BR：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），
令x=4可得，y=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$．
只要证得$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$．即可说明直线AQ和BR的交点在定直线x=4上．
由于6y₁（x₂-2）-2y₂（2+x₁）=6k（x₁-1）（x₂-2）-2k（x₂-1）（x₁+2）
=4kx₁x₂+16k-10k（x₁+x₂）=$\frac{16k（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+16k-$\frac{80{k}^{3}}{1+4{k}^{2}}$=0，
则直线AQ、直线BR与直线x=4的交点重合．
则有P点总落在定直线x=4上．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查直线的交点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．