Question

1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，点E是PD的中点，作EF⊥PC交PC于F．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，与AC交于G，通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；
（Ⅱ）通过PA⊥CD及CD⊥AE，可得AE⊥PC，结合EF⊥PC，利用线面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅲ）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，则所求角的余弦值为平面APC的法向量与平面DPC的法向量的夹角的余弦值，计算可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：连结BD，与AC交于G，
∵ABCD是正方形，∴则G为BD的中点，
∵E是PD的中点，∴EG∥PB，
∵EG?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面EAC；
（Ⅱ）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∵E是PD的中点，PA=AD，∴AE⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，∴AE⊥PC，
又EF⊥PC，AE∩EF=E，
∴PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）解：如图以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=1，
则$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{PD}$=（1，0，0）-（0，0，1）=（1，0，-1），
设平面APC的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}$=0，
所以z=0，x+y=0，即$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），
设平面DPC的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}$=0，
所以y=0，x-z=0，即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即二面角A-PC-D的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的判定，以及求二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．