Question

11．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，且二面角B-EF-C的大小为30°，求CE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过题意可得四边形ACEF在同一平面内，利用线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；
（Ⅱ）以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，通过平面BEF的一个法向量与平面CEF的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，计算即得CE的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，
∴AF∥CE，∴四边形ACEF在同一平面内，
∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD，
又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACEF，
∴BD⊥EF；
（Ⅱ）解：以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图，
设CE=a，则B（1，0，0），F（0，0，1），E（1，1，a），
∴$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，a），
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+1=0}\\{y+a=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{m}$=（1，-a，1），
由（I）知$\overrightarrow{DB}$=（1，-1，0）是平面CEF的一个法向量，
∴|cos＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|a+1|}{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+2}}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，即CE=2．

点评 本题考查空间中线线垂直的判定及性质，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．