Question

6．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是一个直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=3，BC=2，AB=A₁B=5．
（1）试判断AB₁与平面A₁C₁D是否平行，请说明理由；
（2）若A₁A=A₁D，点O在棱AB上，AO=2，cos∠ABA₁=$\frac{3}{5}$，求CC₁与平面OA₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面A₁C₁D中，找到一条与AB₁相交的直线，即可说明AB₁与平面A₁C₁D相交，也就是AB₁与平面A₁C₁D不平行；
（2）在△A₁BO中，利用已知结合余弦定理求得A₁O，由勾股定理可得A₁O⊥BO，再由三角形相似证得A₁O⊥OD．于是，A₁O、OD、OB两两垂直．
以点O为原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量求解CC₁与平面OA₁C₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）不平行．
设B₁D₁交A₁C₁于点E，AD₁交A₁D于F，由平面几何知识知：$\frac{{D}_{1}E}{E{B}_{1}}=\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{3}{5}$，
而$\frac{{D}_{1}F}{FA}=1$，∴在△D₁AB₁中，EF与AB₁不平行．
于是EF与AB₁相交，∵EF?平面A₁C₁D，∴AB₁与平面A₁C₁D相交，
∴AB₁与平面A₁C₁D不平行；
（2）连A₁O，DO，得BO=3，在△A₁BO中，${A}_{1}O=\sqrt{{A}_{1}{B}^{2}+B{O}^{2}-2{A}_{1}B•BO•cos∠{A}_{1}BA}=4$．
于是，${A}_{1}{B}^{2}={A}_{1}{O}^{2}+B{O}^{2}$，∴A₁O⊥BO．
又由A₁A=A₁D，OA=OD=2，∴△A₁OA≌△A₁OD．
∴A₁O⊥OD．于是，A₁O、OD、OB两两垂直．
以点O为原点，建立空间直角坐标系，得A₁（0，0，4），A（-2，0，0），C（3，2，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{AC}=（5，2，0）$．
设平面OA₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}$的一组解$\overrightarrow{n}=（5，2，0）$．
∵$\overrightarrow{C{C}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}=（2，0，4）$，设CC₁与平面OA₁C₁所成角为θ，则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{C{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2\sqrt{145}}{145}$．
∴CC₁与平面OA₁C₁所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{145}}{145}$．

点评 本题考查了直线与平面平行的判定，考查了空间直线和平面的位置关系，训练了利用空间直角坐标系求解线面角的问题，是中档题．