Question

17．已知函数f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）．若a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值为1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求导数，利用导数和极值之间的关系建立方程组，求f（x）的解析式．

解答 解：f（x）=x³+ax²+b的导数f′（x）=3x²+2ax，
由f′（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=-$\frac{2}{3}$a，
因为 a＞0，所以x=-$\frac{2}{3}$a＜0，
当f′（x）＞0时，解得x＜-$\frac{2}{3}$a或x＞0，此时函数单调递增．
当f′（x）＜0时，解得-$\frac{2}{3}$a＜x＜0，此时函数单调递减．
所以当x=-$\frac{2}{3}$a时，函数取得极大值，当x=0时，函数取得极小值．
即f（-$\frac{2}{3}$a）=（-$\frac{2}{3}$a）³+a（-$\frac{2}{3}$a）²+b=5，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
则有求的函数解析式是f（x）=x³+3x²+1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查求极值的方法，考查运算能力，属于基础题．