Question

12．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC．
（I）求证：AC⊥CD；
（Ⅱ）点E在棱PC上，满足∠DAE=60°，求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；
（Ⅱ）以点A为原点，以$\overrightarrow{AB}$为x轴正方向、以|$\overrightarrow{AB}$|为单位长度，建立空间直角坐标系．利用∠DAE=60°即cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{1}{2}$可得$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），通过cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{ED}|}$即得二面角B-AE-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为∠PCD=90°，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC；
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，∴AB⊥AC．
又PA⊥底面ABCD，∴AB，AC，AP两两垂直．
如图所示，以点A为原点，以$\overrightarrow{AB}$为x轴正方向、以|$\overrightarrow{AB}$|为单位长度，建立空间直角坐标系．
则B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（-1，1，0）．
设$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PC}$=λ（0，1，-1），则$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PE}$=（0，λ，1-λ），
又∠DAE=60°，则cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{λ}{\sqrt{2}\sqrt{2{λ}^{2}-2λ+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
则$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
所以cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{ED}|}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
因为$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{ED}$=0，所以$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{ED}$．
又$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AE}$，故二面角B-AE-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查空间中线线垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．