Question

3．如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°DC=2AB=2a，DA=$\sqrt{3}$A，PD=$\sqrt{3}$a，E为BC中点，连结AE，交BD于O．
（Ⅰ）平面PBD⊥平面PAE
（Ⅱ）求二面角D-PC-E的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAE．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求出二面角的平面角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）  连结BD
∠BAD=∠ADC=90°，
AB=a，DA=$\sqrt{3}a$，
所以BD=CD=BC=2a，
因为E为BC中点，
所以DE=$\sqrt{3}a$=AD，
因为AB=BE=a，DB=DB，
所以△DAB与△DEB为全等三角形
所以∠ADB=∠EDB，
所以△DA0与△DEO为全等三角形
所以在△DAE中，DE⊥AE，
即AE⊥BD…（3分）
又因为PD⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以AE⊥PD…（4分）
而BD∩PD=D，
所以AE⊥平面PBD…（5分）
因为AE?平面PAE，
所以平面PAE⊥平面PBD…（6分）
（Ⅱ） 以D为原点，分别以DA，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
二面角D-PC-E，即二面角D-PC-B，
AD⊥平面DPC，平面DPC的法向量可设为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）…（7分）
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，1）
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，
而B（$\sqrt{3}a，a，0$），C（0，2a，0），P（0，0，$\sqrt{3}$a），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$a，a，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2a，-$\sqrt{3}$a），
即$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}ax+ay=0}\\{2ay-\sqrt{3}a=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）…（10分）
所以两平面DPC与平面DBC所成的角的余弦值
为cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．