Question

16．已知函数f（x）=ln（2+3x）-$\frac{3}{2}$x²，x∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]时，|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，再利用恒成立求a的取值范围．

解答 解：∵f′（x）+3x=$\frac{3}{2+3x}$，
∴当x∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]时，ln[f′（x）+3x]∈[0，ln$\frac{6}{5}$]（当且仅当x=$\frac{1}{3}$时，ln[f′（x）+3x]=0）．
因此，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立的a的取值范围是（-∞，ln$\frac{1}{3}$）∪（ln$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 考查学生综合运用方程与函数的能力，以及求导数的能力，比较基础．