Question

11．已知函数f（x）=$\frac{（sinx+cosx）^{2}-1}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$，方程f（x）=$\sqrt{3}$在（0，+∞）上的解按从小到达的顺序排成数列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）=$\sqrt{3}$化为$sin2x=\sqrt{3}cos2x$，可得$sin（2x-\frac{π}{3}）$=0，x∈（0，+∞），于是2x-$\frac{π}{3}$=kπ，解得即可得出；
（2）b_n=$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）π$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）方程f（x）=$\sqrt{3}$化为$sin2x=\sqrt{3}cos2x$，∴$sin（2x-\frac{π}{3}）$=0，x∈（0，+∞），
∴2x-$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴a_n=$\frac{3n-2}{6}π$．（n∈N^*）．
（2）b_n=$\frac{3{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$=$\frac{π}{2（4{n}^{2}-1）}$=$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）π$，
∴S_n=π$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$（1-\frac{1}{2n+1}）π$
=$\frac{2nπ}{2n+1}$．

点评 本题考查了两角和差公式、数列“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．