Question

6．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2AB=2，若E，F分别为线段A₁D₁，CC₁的中点，则直线EF与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 取BB₁中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接A₁M，A₁F，易得∠MA₁N为直线EF与平面ABB₁A₁所成角，解△MA₁N即可求出直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值，进而可求正弦值．

解答 解：取BB₁中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接A₁M，A₁F 易得EF∥A₁M，EF=A₁M
∵A₁F是EF在面A₁ABB₁上的投影．
∴∠MA₁N为所求的角．令AB=1，
在△MA₁N中，A₁N=$\sqrt{2}$，A₁M=$\sqrt{3}$，
则cos∠MA₁N=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以sin∠MA₁N=$\sqrt{1-\frac{6}{9}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中构造出线面夹角的平面角是解答本题的关键．