Question

11．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）证明在棱CC₁上存在一点F，使得DF⊥AC，并求AF的长．

Answer 1

分析 （I）转化为直线与直线的平行问题证明OD∥A₁C，
（II）利用直线与平面的垂直问题确定直线与平面的夹角：∠A₁CE为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角，转化为直角三角形求解．
（III）利用平面直线的性质得出Rt△CDF∽Rt△C₁CE，确定∠C₁CE+∠CFD=$\frac{π}{2}$，即得证DF⊥CE，DF⊥A₁C
判断Rt△ADF在考虑边长关系求解．

解答 解：（Ⅰ）
连接A₁B交AB₁于O，连接OD
∵四边形ABB₁A₁为正方形
∴O为A₁B的中点
又∵D是BC中点
∴OD∥A₁C
∵OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D
∴A₁C∥平面AB₁D
（Ⅱ）过A₁作A₁E⊥B₁C₁，E，连接CE
∵平面A₁B₁C₁⊥平面BCC₁B₁
平面A₁B₁C₁∩平面BCC₁B₁=B₁C₁
∴A₁E⊥平面BCC₁B₁
∴CE为直线A₁C在平面BCC₁B₁上的投影
∴∠A₁CE为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角，
在Rt△A₁C₁C中
A₁C=$\sqrt{A{C}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$4\sqrt{2}$，
在△A₁B₁C₁中
A₁E=2$\sqrt{3}$
在Rt△A₁CE中，sin∠A₁CE=$\frac{{A}_{1}E}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$
（Ⅲ）当$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{C{C}_{1}}$时，DF⊥A₁C
在正方形BCC₁B₁中，D，E分别是BC，B₁C₁的中点
∴$\frac{CD}{C{C}_{1}}$=$\frac{CF}{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$，
∴Rt△CDF∽Rt△C₁CE
∴∠CDF=∠C₁CE
∵∠CDF+∠CFD=$\frac{π}{2}$，
∴∠C₁CE+∠CFD=$\frac{π}{2}$，
∴DF⊥CE
由（Ⅱ）可知A₁E⊥平面BCC₁B₁
DF?平面BCC₁B₁，∴A₁E⊥DF
∵A₁E∩CE=E，∴DF⊥平面A₁CE
∵A₁C?平面A₁CE
∴DF⊥A₁C
在Rt△ADF中 AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了直线平面的位置关系，平行，垂直的问题，求解空间角，运算较复杂，对学生的空间思维能力要求较高．