Question

11．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：平面SAB⊥平面SBC；
（3）求直线SC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据棱锥的条件公式即可求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面SAB⊥平面SBC；
（3）找出直线和平面所成的角，结合三角形的边角关系即可求直线SC与底面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（1）四棱锥S-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•（AD+BC）•AB•SA$=$\frac{1}{6}×（\frac{1}{2}+1）×1×1=\frac{1}{4}$；
证明：（2）∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∵BC?平面SBC，
∴平面SAB⊥平面SBC；
解：（3）连接AC，
∵SA⊥平面ABCD，
∴∠SCA就是直线SC与底面ABCD所成的角，
在△SCA中，SA=1，AC=$\sqrt{2}$，
tan∠SCA=$\frac{SA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即直线SC与底面ABCD所成角的正切值为=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查棱锥的体积的计算，面面垂直的判定以及直线和平面所成角的求解，根据相应的定义和公式是解决本题的关键．