Question

12．向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{b}$|=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$和|$\overrightarrow{b}$|²的方程组，解方程组可得．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=1，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=1，
∴1+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=1，4+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=1，
两式相减可得2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-3，
代入1+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=1可得|$\overrightarrow{b}$|²=3，
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查向量的模长，涉及数量积的运算和方程组的解法，属基础题．