Question

12．四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列
结论中正确的序号是②③
①A′C⊥BD          
②CA′与平面A′BD所成的角为45°
③BA′⊥面A′CD
④四面体A′-BCD的体积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知中四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，我们根据线线垂直的判定方法，可证明①的正误，求出CA′与平面A′BD所成的角，对于选项②做出判断；利用线面垂直的性质，可以判断③的对错，求出四面体A'-BCD的体积即可判断④的真假．

解答 解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，
则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD仅于平面A′CD与CD平行的直线垂直，故①错误；
由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，
∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，
∵A′D=CD，
∴△A′CD为等腰直角三角形，
∴∠A′DC=45°，
则CA′与平面A′BD所成的角为45°，选项②正确；
又由AB=AD，BD=$\sqrt{2}$，
可得A′B⊥A′D，
∴A′B⊥面A′CD，故③正确；
由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D，即△A'DC是直角三角形，故C答案△A'DC是正三角形错误；
∵四面体A'-BCD的体积V=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，∴四面体A'-BCD的体积为$\frac{1}{3}$错误，选项④错误．
故答案为：②③

点评 此题考查了棱锥的结构特征，以及棱柱的结构特征，熟练掌握空间位置关系与距离的判定是解本题的关键．