Question

4．已知函数f（x）=x²-1（x＞0），设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N^*）
（1）用x_n表示x_n+1
（2）求证：x_n+1≤x_n对一切正整数n都成立的充要条件为x₁≥1．
（3）x₁=2，求证：$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…$\frac{1}{{x}_{n}+1}$≤$\frac{{2}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先对函数f（x）=x²-1进行求导，进而可得到过曲线上点（x_n，f（x_n））的切线方程，然后令y=0得到关系式x_n²+1=2x_nx_n+1，整理即可得到答案；
（2）先由x_n+1≤x_n得到x₂≤x₁，再结合（1）中的结果可得到$\frac{1}{2}$（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）≤x₁，最后根据x₁＞0可得到必要性的证明；由x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）用数学归纳法可证明x_n+1≤x_n对一切正整数n成立；
（3）运用数学归纳法证明，注意证明n=k到n=k+1时，可结合分析法和基本不等式，即可得证．

解答 解：（1）由题可得f′（x）=2x，
所以在点（x_n，f（x_n））处的切线方程为y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-（x_n²-1）=2x_n（x-x_n），
令y=0，得-（x_n²-1）=2x_n（x_n+1-x_n），
即x_n²+1=2x_nx_n+1，显然x_n≠0，
∴x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）；
（2）证明：（必要性）若对一切正整数n，x_n+1≤x_n，则x₂≤x₁，
即$\frac{1}{2}$（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）≤x₁，而x₁＞0，
∴x₁²≥1，即有x₁≥1；
（充分性）若x₁≥1＞0，由x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$），
用数学归纳法易得x_n＞0，从而x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）≥$\sqrt{{x}_{n}•\frac{1}{{x}_{n}}}$=1（n≥1），
即x_n≥1（n≥2），又x₁≥1，
∴x_n≥1（n≥2）．
于是x_n+1-x_n=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）-x_n=$\frac{1-{{x}_{n}}^{2}}{2{x}_{n}}$=$\frac{（1-{x}_{n}）（1+{x}_{n}）}{2{x}_{n}}$≤0，
即x_n+1≤x_n对一切正整数n成立；
（3）运用数学归纳法证明：当n=1时，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{1}{3}$≤$\frac{2-1}{3}$，显然成立，
当n=2时，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{\frac{5}{4}+1}$=$\frac{7}{9}$＜$\frac{{2}^{2}-1}{3}$，成立．
假设n=k时，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{k}+1}$≤$\frac{{2}^{k}-1}{3}$，
当n=k+1时，要证$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{k}+1}$+$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k+1}-1}{3}$，
由假设即证$\frac{{2}^{k}-1}{3}$+$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k+1}-1}{3}$，
即证$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k}}{3}$，
即证x_k+1≥$\frac{3}{{2}^{k}}$-1，
由x_k+1=$\frac{1}{2}$（x_k+$\frac{1}{{x}_{k}}$）≥1，$\frac{3}{{2}^{k}}$-1＜1，
则x_k+1≥$\frac{3}{{2}^{k}}$-1，显然成立．
即有当n=k+1时，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{k}+1}$+$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k+1}-1}{3}$，成立．
故有$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}+1}$≤$\frac{{2}^{n}-1}{3}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及不等式的证明：数学归纳法，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．