Question

9．某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，且两人租车的时间都不超过4小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元，利用相互独立与对立事件的概率计算公式即可得出；
（2）随机变量ξ的取值可以为20，30，40，50，60，利用相互独立与互斥事件、对立事件的概率计算公式即可得出概率、分布列，进而得出数学期望．

解答 解：（1）甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元，
甲、乙两人所付费用都是10元的概率为${P_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
甲、乙两人所付费用都是20元的概率为${P_1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
甲、乙两人所付费用都是30元的概率为${P_1}=（1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$，
故甲、乙两人所付费用相等的概率为$P={P_1}+{P_2}+{P_3}=\frac{13}{36}$．
（2）随机变量ξ的取值可以为20，30，40，50，60，
$P（ξ=20）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=30）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{13}{36}$，
$P（ξ=40）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}+（1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}=\frac{11}{36}$，
$P（ξ=50）=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}=\frac{5}{36}$，$P（ξ=60）=（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$．
故ξ的分布列为：

ξ	20	30	40	50	60
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{36}$

∴ξ的数学期望是$Eξ=20×\frac{1}{6}+30×\frac{13}{36}+40×\frac{11}{36}+50×\frac{5}{36}+60×\frac{1}{36}=35$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件及对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．