Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为e，过椭圆焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，倾斜角为θ．
（1）证明：|AB|=$\frac{2a{b}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}co{s}^{2}θ}$；
（2）证明：若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AB}$，则|ecosθ|=|$\frac{λ-1}{λ+1}$|．

Answer 1

分析 （1）通过联立直线与椭圆方程及椭圆第二定义，利用平方关系计算即可；
（2）设椭圆的右准线为l，分别过A、B点作AA₁⊥l、BB₁⊥l，垂足分别为A₁、B₁，过点B作BD⊥AA₁，通过椭圆的第二定义，计算可得结论．

解答 证明：（1）根据题意，得F（c，0）（c＞0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的方程为：y=tanθ（x-c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=tanθ（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得（a²tan²θ+b²）x²-2a²ctan²θx+a²c²tan²θ-a²b²=0，
由韦达定理，可得x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}cta{n}^{2}θ}{{a}^{2}ta{n}^{2}θ+{b}^{2}}$，
根据椭圆的第二定义，可得：
|AB|=|AF|+|FB|
=$\frac{c}{a}[（\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}）+（\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{2}）]$
=$\frac{c}{a}[\frac{2{a}^{2}}{c}-（{x}_{1}+{x}_{2}）]$
=$\frac{2a{b}^{2}}{\frac{{b}^{2}+{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}}$
=$\frac{2a{b}^{2}}{\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ+{a}^{2}-{c}^{2}（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）}{1+ta{n}^{2}θ}}$
=$\frac{2a{b}^{2}}{\frac{（1+ta{n}^{2}θ）（{a}^{2}-{c}^{2}co{s}^{2}θ）}{1+ta{n}^{2}θ}}$
=$\frac{2a{b}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}co{s}^{2}θ}$；
（2）设椭圆的右准线为l，
∵$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AB}$，∴可设|$\overrightarrow{AF}$|=λt，|$\overrightarrow{FB}$|=t（t＞0）．
由图可知θ为锐角，分别过A、B点作AA₁⊥l、BB₁⊥l，
垂足分别为A₁、B₁，过点B作BD⊥AA₁，
由椭圆的第二定义可得
|AD|=|AA₁|-|BB₁|
=$\frac{|AF|}{e}$-$\frac{|BF|}{e}$
=$\frac{（λ-1）t}{e}$，
在Rt△ADB中，cosθ=$\frac{|AD|}{|AB|}$=$\frac{（λ-1）t}{e（λ+1）t}$=$\frac{λ-1}{e（λ+1）}$，
∴|ecosθ|=|$\frac{λ-1}{λ+1}$|．

点评 本题考查椭圆的第二定义，直线与椭圆的位置关系，三角函数平方关系，韦达定理，注意解题方法的积累，属于难题．