Question

5．如图，已知AE⊥平面CDE，四边形ABCD为正方形，M，N分别是线段BE，DE的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）若$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，求EC与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明出MN∥BD，进而根据线面平行的判定定理证明出MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）先证明出CD⊥平面ADE，找到线与面所成的角，求出AD，再求得sin∠CED．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，
∵M，N分别是BE，DE的中点，
∴MN∥BD，
∵BD?平面ABCD，NM?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵AE⊥平面EDC，AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，
故∠CED即为所求角，
设AE=a，CE=2a，则AC=$\sqrt{5}$a，
∴CD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
在△CDE中，sin∠CED=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴EC与平面ADE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题主要考查了线面平行判定定理，线面所成的角．解决线面成角的问题，关键是找到线面成角的平面角．