Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，M为BC上一点，且BM=$\frac{1}{2}$，MP⊥AP．
（1）求PO的长；
（2）求二面角A-PM-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法即可求PO的长；
（2）求平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-PM-C的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）连接AC，BD，
∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
故AC∩BD=O，且AC⊥BD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O-xyz，
∵AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
∴OA=AB•cos（$\frac{1}{2}$∠BAD）=$\sqrt{3}$，OB=AB•sin（$\frac{1}{2}$∠BAD）=1，
∴O（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），
又∵BM=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，0），
则$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0），
设P（0，0，a），则$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}$，0，a），$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$，a），
∵MP⊥AP，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{MP}$=$\frac{3}{4}$-a²=0，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即PO的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CP}$=（$\sqrt{3}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面APM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面PMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{3}{4}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}a+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}a-\frac{3}{4}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，
令a=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-2），
∵平面APM的法向量$\overrightarrow{m}$和平面PMC的法向量$\overrightarrow{n}$夹角θ满足：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-5-4}{\sqrt{\frac{40}{3}}•\sqrt{8}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
故sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查空间二面角的求解以及，空间向量的应用，建立坐标系，求出平面的法向量是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．