Question

18．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，AD=2，BC=1，PA=2$\sqrt{2}$，H，G分别为AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PH∥平面GBD
（Ⅱ）求二面角G-BD-A平面角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明PH∥平面GBD
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角G-BD-A平面角的正切值．

解答 证明：（Ⅰ）连接BH，BD，CH相交于O，
∵底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠BAD=60°，AD=2，BC=1，
∴四边形BCDH是菱形，
则O是CH的中点，
连接OG，
∵H，G分别为AD，PC的中点，
∴OG是△PCH的中位线，
∴OG∥PH，
∵PH?平面GBD，OG?平面GBD，
∴PH∥平面GBD
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴以A为坐标原点，以AD为y轴，以垂直于AD的直线为x轴，以AP为y轴，建立空间坐标系如图：
则A（0，0，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），D（0，2，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
则G（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{GB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
设平面GBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{1}{4}y-\sqrt{2}z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=$\sqrt{3}$，z=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），则|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{66}}{4}$，
平面ABD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{1×\frac{\sqrt{66}}{4}}$=$\frac{1}{\sqrt{33}}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{33}}$=$\sqrt{\frac{32}{33}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{33}}$，
则tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=4$\sqrt{2}$，
即二面角G-BD-A平面角的正切值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查空间线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．