Question

8．如图1，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，EF∥AB，且AE=1，M，N分别是FC，CD的中点．将梯形ABCD沿EF折起，使得BC=$\sqrt{3}$，连接AD，BC，AC得到（图2）所示几何体．

（Ⅰ）证明：AF∥平面BMN；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点P，连结PB、PN、PM，连结DM．通过四边形ABMD是平行四边形及线面平行的判定定理即得结论；
（Ⅱ）以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，则所求值即为平面ADC的法向量与平面ABC的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：取AC中点P，连结PB、PN、PM．
则PN∥AD，AF∥PM．
连结DM，则DM∥EF，DM=EF，
由题意知EF∥AB，EF=AB，
∴DM∥AB，DM=AB，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴MB∥AD，∴MB∥NP，
∴B、M、N、P共面，
∴PM?平面BMN，
又∵AF?平面BMN，
∴AF∥平面BMN；
（Ⅱ）解：由题意知EF⊥FB，EF⊥FC，∴EF⊥平面FBC，
∵EF∥AB，∴AB⊥平面FBC，
又BC²+BF²=FC²，∴BC⊥BF，
以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz如图，
则B（0，0，0），A（0，0，2），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
设平面ADC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-2z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$，
由图可知二面角B-AC-D为钝角，
∴二面角B-AC-D的余弦值为-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查线面平行的判定，求二面角的三角函数值，涉及到勾股定理及向量数量积运算等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．