Question

17．为迎接A、B、C三个体育代表团参加运动会，我市共准备了甲、乙、丙、丁四个宾馆以供他们入住，假定每个代表团可入住任一宾馆，入住各个宾馆是等可能的且互不影响．
（1）求在A代表团入住甲宾馆的条件下，三个代表团恰好分住其中三个宾馆的概率；
（2）设三个代表团入住的宾馆数为X，求X的分布列，期望与方差．

Answer 1

分析 （1）确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）确定X的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列，期望与方差．

解答 解：（1）在A代表团入住甲宾馆的条件下，其他两个代表团有16种情况，三个代表团恰好分住其中三个宾馆有6种情况，所以三个代表团恰好分住其中三个宾馆的概率为$\frac{6}{16}$=$\frac{3}{8}$；
（2）X的取值为1，2，3，则
P（X=1）=$\frac{4}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{16}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{36}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{16}$，P（X=3）=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{24}{{4}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，
∴X的分布列

X	1	2	3
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$

EX=1×$\frac{1}{16}$+2×$\frac{9}{16}$+3×$\frac{3}{8}$=$\frac{37}{16}$，
DX=（1-$\frac{37}{16}$）²×$\frac{1}{16}$+（2-$\frac{37}{16}$）²×$\frac{9}{16}$+（3-$\frac{37}{16}$）²×$\frac{3}{8}$=$\frac{87}{256}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力．