Question

17．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点且$\overrightarrow{DP}$⊥$\overrightarrow{AQ}$，则$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{QP}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 建立坐标系，求出有关点的坐标，由$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0求得a=b，计算$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{QP}$=（a-1）²+3，利用二次函数的性质求得$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{QP}$的最小值．

解答 解：以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，如图：
则由正方形ABCD的边长为2可得A（0，0）、D（0，2）、
C（2，2），
设点P（a，0）、Q（2，b），则a、b∈[0，2]．
则$\overrightarrow{DP}$=（a，-2），$\overrightarrow{AQ}$=（2，b），$\overrightarrow{CP}$=（a-2，-2），
 $\overrightarrow{QP}$=（a-2，-b）．
由$\overrightarrow{DP}$⊥$\overrightarrow{AQ}$，可得$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（a，-2）•（2，b）=2a-2b=0，
∴a=b．
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{QP}$=（a-2，-2）•（a-2，-b）=（a-2）²+2b=a²-4a+4+2a
=a²-2a+4=（a-1）²+3．
故当a=1时，$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{QP}$的最小值为3，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质，属于基础题．