Question

9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）-f（-x）=2e^x-2e^-x-4x，且g（x）=f（2x）-4mf（x）．
（1）证明：函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线的斜率为非负实数；
（2）若x＞0时，g（x）＞0，求m的最大值；
（3）估计ln2的近似值（精确到0.001）．（注：1.4142＜$\sqrt{2}$＜1.4143）

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，求函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
（2）先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
（3）根据第（2）问的结论，设法利用$\sqrt{2}$的近似值，并寻求ln2，于是在m=2及m＞2的情况下分别计算g（ln$\sqrt{2}$），最后可估计ln2的近似值．

解答 证明：（1）∵奇函数f（x）满足f（x）-f（-x）=2e^x-2e^-x-4x，
∴2f（x）=2e^x-2e^-x-4x，
则f（x）=e^x-e^-x-2x，
则函数的导数f′（x）=e^x+e^-x-2，
∵e^x+e^-x$≥2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
∴f′（x）=e^x+e^-x-2≥0，
即函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线的斜率为非负实数．
解：（2）g（x）=f（2x）-4mf（x）=e^2x-e^-2x-4m（e^x-e^-x）+（8m-4）x，
则g′（x）=2[e^2x+e^-2x-2m（e^x+e^-x）+（4m-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2m（e^x+e^-x）+（4m-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x+2-2m）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴当2m≤4，即m≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜e^x+e^-x＜2m-2，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＜{e}^{x}+{e}^{-x}}\\{{e}^{x}+{e}^{-x}＜2m-2}\end{array}\right.$，得0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$），
此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，m≤2，得m的最大值为2．
解：（3）∵1.4142＜$\sqrt{2}$＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e^2x-e^-2x-4m（e^x-e^-x）+（8m-4）x，
为了凑配ln2，并利用$\sqrt{2}$的近似值，故将ln$\sqrt{2}$即$\frac{1}{2}ln2$代入g（x）的解析式中，
得g（ln$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$m+2（2m-1）ln2．
当m=2时，由g（x）＞0，得g（ln$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$-4$\sqrt{2}$+6ln2，
从而ln2＞$\frac{8\sqrt{2}-3}{12}＞\frac{8×1.4142-3}{12}$=0.6928；
令ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）=ln$\sqrt{2}$，
得m=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$+1＞2，]
当0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）时，
由g（x）＜0，得g（ln$\sqrt{2}$）=-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$m+（3$\sqrt{2}$+2）ln2＜0，
得ln2＜$\frac{18+\sqrt{2}}{28}$$＜\frac{18+1.4143}{28}＜$0.6934．
所以ln2的近似值为0.693

点评 本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．