Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}}+2x+a，x＜0\\ lnx，x＞0\end{array}$其中a是实数，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）当x＜0时，讨论函数g（x）=f（x）•f（e^x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当x＜0时，求导数，分类讨论，利用导数的正负可得函数g（x）=f（x）•f（e^x）的单调性；
（Ⅱ）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1²-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当x＜0时，f（x）=x²+2x+a，
∵e^x＞0，∴f（e^x）=x，
∴g（x）=f（x）•f（e^x）=x³+2x²+ax，
∴g′（x）=3x²+4x+a=3（x+$\frac{2}{3}$）²+a-$\frac{4}{3}$，
①a≥$\frac{4}{3}$时，g′（x）≥0，此时g（x）在（-∞，0）上单调递增；
②a＜$\frac{4}{3}$时，g′（x）=0，得x₁=$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$，x₂=$\frac{-2+\sqrt{4-3a}}{3}$，
0＜a＜$\frac{4}{3}$时，x₂＜0，g（x）在（-∞，$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$）上单调递增，在（$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$，$\frac{-2+\sqrt{4-3a}}{3}$（上单调递减，在（$\frac{-2+\sqrt{4-3a}}{3}$，0）上单调递增；
③a≤0时，x₂≥0（舍去），g（x）在（-∞，$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$）上单调递增，在（$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$，0）上单调递减；
（Ⅱ）当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x₁²+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+2且lnx₂-1=-x₁²+a，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜2，由①②得a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）²-1=-ln$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则0＜t＜2，且a=$\frac{1}{4}$t²-t-lnt，设h（t）=$\frac{1}{4}$t²-t-lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=$\frac{1}{2}$t-1-$\frac{1}{t}$=$\frac{（t-1）^{2}-3}{2t}$＜0，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-ln2-1，+∞）．

点评 本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．