Question

1．已知函数 f（x）=ax-lnx，g（x）=e^ax+2x，其中 a∈R．
（Ⅰ）当 a=2 时，求函数 f（x） 的极值；
（Ⅱ）若存在区间 D⊆（0，+∞），使得 f（x）与g（x）在区间D上具有相同的单调性，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，f′（x）=2-$\frac{1}{x}$，通过f′（x）的符号可判断f（x）在相应区间上的单调性，从而可求得f（x）的极值；
（Ⅱ）可求得f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，g′（x）=ae^ax+2，对a分a＞0，a=0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号可判断f（x）在相应区间上的单调性，可求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=2-$\frac{1}{x}$，
故当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f（x）单调递减；当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，f（x）单调递增；
所以，f（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值f（$\frac{1}{2}$）=1+ln2，无极大值；   …（5分）
（Ⅱ）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，g′（x）=ae^ax+2，
当a＞0时，g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，而f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增，
故必存在D⊆（0，+∞），使得f（x）与g（x）在D上单调递增；
当a=0时，f′（x）=-$\frac{1}{x}$＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，而g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故不存在满足条件的区间D；
当a＜0时，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，而g（x）在（-∞，$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）$）上单调递减，（$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）$，+∞）上单调递增，若存在存在D⊆（0，+∞），使得f（x）与g（x）在D上上单调性相同，
则有$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）$＞0，解得a＜-2；
综上，a＞0或a＜-2．…（12分）

点评 本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查分类讨论思想与方程思想，属于难题．