Question

3．如图，矩形ACMP和菱形ABCD所在的平面互相垂直，点N为PM的中点，
（1）证明：直线CN∥平面PBD
（2）若AP=AB，∠BAD=120°，求直线MC与平面PBD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，连结OP，通过四边形OCNP为平行四边形，及线面平行的判定定理即得结论；
（2）易得∠MCN即为直线MC与平面PBD所成角的平面角．在Rt△MCN中，利用tan∠MCN=$\frac{MN}{MC}$计算即可．

解答 （1）证明：连结AC、BD，交于点O，连结OP，
则O为AC的中点，
又∵四边形ACMP为矩形，点N为PM的中点，
∴PN∥OC，PN=OC，
∴四边形OCNP为平行四边形，
∴NC∥OP，
∴直线CN∥平面PBD；
（2）解：根据题意易得∠MCN即为直线MC与平面PBD所成角的平面角．
∵AP=AB，∠BAD=120°，
∴AC=AB=PA，
又由（1）可得MN=$\frac{1}{2}$AC，MC=AC，
∴在Rt△MCN中，tan∠MCN=$\frac{MN}{MC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查空间中线面平行的判定，考查求线面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．