Question

8．已知cosα=$\frac{1}{17}$，cos（α+β）=-$\frac{47}{51}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，则cosβ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）和sinα的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：由0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，可得0＜α+β＜π．
∵cos（α+β）=-$\frac{47}{51}$，∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{14\sqrt{2}}{51}$．
∵cosα=$\frac{1}{17}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{12\sqrt{2}}{17}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{47}{51}$•$\frac{1}{17}$+$\frac{14\sqrt{2}}{51}$•$\frac{12\sqrt{2}}{17}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题．