Question

10．正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
• B． [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 取平面DEA⊥平面α位置考虑，在△ADE中，求出cos∠DAE，再考虑特殊位置，可得结论．

解答 解：取平面DEA⊥平面α位置考虑即可．如图所示，
在△ADE中，AD=2，DE=AE=$\sqrt{3}$，
∴cos∠DAE=$\frac{4+3-3}{2×2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
棱AD与平面α所成的角为$\frac{π}{3}$时，sin∠EAN=sin（$\frac{π}{3}$-∠DAE）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴EN=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$
或sin∠EAN=sin（$\frac{π}{3}$+∠DAE）=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$
∴EN=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$
∴棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，取特殊位置是关键．