Question

19．已知m，n，i，j均为正整数，记a_i，j为矩阵${A_{n×m}}=（{\begin{array}{l}1&{{a_{1，2}}}&…&{{a_{1，m}}}\\ 2&{{a_{2，2}}}&…&{{a_{2，m}}}\\…&…&…&…\\{{a_{n，1}}}&{{a_{n，2}}}&…&{{a_{n，m}}}\end{array}}）$中第i行、第j列的元素，且a_i，j+1=a_i，j+1，2a_i+2，j=a_i+1，j+a_i，j（其中i≤n-2，j≤m-2）；给出结论：①a_5，6=$\frac{13}{4}$；②a_2，1+a_2，2+…+a_2，m=2m；③${a_{n+1，m}}={a_{n，m}}+{（{-\frac{1}{2}}）^n}$④若m为常数，则$\lim_{n→∞}{a_{n，m}}=\frac{2+3m}{3}$．其中正确的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 利用条件确定a_n，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m，再进行验证，即可得出结论．

解答 解：由题意，2a_i+2，j=a_i+1，j+a_i，j，
所以a_n，1-a_n-1，1=$（-\frac{1}{2}）^{n-2}$，
所以利用叠加法可得a_n，1=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+1，
因为a_i，j+1=a_i，j+1，所以a_n，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m
所以：①a_5，6=$\frac{53}{8}$，故不正确；
②a_2，1+a_2，2+…+a_2，m=2+3+4+…+m+1=$\frac{m（m+3）}{2}$，故不正确；
③由a_n，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m，可得${a_{n+1，m}}={a_{n，m}}+{（{-\frac{1}{2}}）^n}$$•\frac{2}{3}$，故不正确；
④若m为常数，利用极限可得$\lim_{n→∞}{a_{n，m}}=\frac{2+3m}{3}$，正确．
故选：B

点评 本题考查新定义，考查数列知识的运用，确定a_n，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m是关键．